楕円の焦点に地球はあるけど、地球は点ではない。

　衛星の軌道は楕円であることは、衛星通信に興味を持つ人にとっては言うまでもありません。　また、地球は丸くて大きなものであることは小さな子供でも知っています。　しかし、軌道面内で衛星の位置を計算するときには楕円のひとつの焦点に地球があって、質量が１点にあるものとして扱ってきました。　計算上は地面の下の深くをグルグル回る衛星だって存在してしまいます。　実際には地球には大きさがあって、その影響について考慮する必要があります。

 詳細については、長沢　工　著　「天体力学入門（上）（下）」で 、ご確認願います。

　どんな形の固まりでも、その固まりの外のある点におけるポテンシャルは、固まりの微少部分の作るポテンシャルを加え合わすことで決めることができます。　この計算は積分になりますが、ルジャンドルの多項式を使うことで、ポテンシャル Ｕ は、

　　Ｕ = Ｕ0 + Ｕ1 + Ｕ2 + Ｕ3 + ・・・・・

と書き表すことができます。

　Ｕ0 は０次調和項で、重力定数：Ｇ、固まりの全質量：Ｍ、固まりの重心から外側の点までの距離：ｒ とすると、

　　Ｕ0 = -ＧＭ/ｒ

となり、固まり全体の質量をもつ質点（重さはあるけど大きさがない）を原点においたポテンシャルの意味になり、大きさを考慮しないで、計算に使っていた値です。

　Ｕ1 は１次調和項で、重心を原点にとった座標では、常に０になります。

　　Ｕ1 = 0

　Ｕ2 は２次調和項で、地球のような慣性楕円体では慣性主軸（地軸）に対して回転対称なので、

　　Ｕ2 = Ｇ/ｒ＾3 * Ｊ2’ *  Ｐ2(sinβ)

ただし、Ｊ2’は楕円体のつぶれ具合、Ｐ2(sinβ)は２次のルジャンドル多項式です。

　Ｕ3 は３次調和項で、赤道面について南北に対称の質量分布を持つ場合には、０となります。　地球の場合は南北で対称とは言えませんが、２次調和項に比べて桁違いに小さな値になります。

　さらに高次の調和項も式としては展開できますが、３次調和項に比べて小さい値になります。

　ここで、地球の全質量をＭ、地球の赤道半径を ａe とすると、

　　Ｕ = −ＧＭ/ｒ [ 1 - (ａe / r)^2 * Ｊ2 * Ｐ2(sinβ) - (ａe / r)^3 * Ｊ3 * Ｐ3(sinβ) - (ａe / r)^4 * Ｊ4 * Ｐ4(sinβ) - ・・・・・

ただし、Ｊ2、Ｊ3、Ｊ4 は地球の力学的形状係数といわれる量で、

　　Ｊ2 = 108263±0.5 * 10^-8

　　Ｊ3 = -254±1 * 10^-8

　　Ｊ4 = -162±1 * 10^-8

という値が、観測から与えられています。

先に示したように、Ｊ2に比べてＪ3、Ｊ4 の値は桁違いに小さいので、Ｊ2を含む項まで考慮することにすれば、地球のポテンシャルＵは、

　　Ｕ = -( μ/r ) + k( μ/r^3 ) ( 3sin ^2 β  - 1)

ただし、

　　μ = GM

　　k = 1/2 ( Ｊ2 * ａe^2 )

とします。

地球のポテンシャルの式で、-μ/r は２体問題のポテンシャルですから、

　　Ｒ = k( μ/r^3 ) ( 1 - 3sin ^2 β )

とおけば、Ｕは、

　　Ｕ = -μ/r - Ｒ

となり、Ｒを摂動関数として考えます。

ちょっと、ひと休み

　　なぜ、摂動関数などというものを引っぱり出して来たかというと、これまでは地球のポテンシャルは重力定数、地球の重さ、そして２体間（地球の重心と衛星）の距離だけを考えていましたが、地球には大きさがあるため、実はそれほど単純なものでないことを知るためです。　また、地球の大きさや形が人工衛星の動きに大きく作用し、このことを考慮せずには衛星の位置を正しく計算することはできないのです。　

　地球のポテンシャルＵを使って、人工衛星の軌道要素との関係を考えてみます。　まず座標の決め方ですが、人工衛星の軌道要素は地心直交赤道座標で与えられ、地球の重心および回転対称軸（地軸）は軌道要素の座標系と一致しているので、地球の回転については考える必要はなく、また地球の自転によってポテンシャルが変わることはありません。

　ここで、人工衛星の軌道要素をつぎのように表します。

　　ａ：　長半径

　　ｅ：　離心率

　　Ω：　昇交点赤経

　　ｉ：　軌道傾斜角

　　ω：近地点引数

　　ｌ：　平均近点角

　　ｎ：　平均運動

　　ｆ：　真近点角

　ある時点での人工衛星の緯度 β は、球面三角法で、

　　　sin β = sin i * sin( ω + ｆ )

と、表すことができるので、

　摂動関数Ｒに含まれるつぎの項は、

　　　3 sin ^2 β = 3/2 * sin^2i * [ 1 - cos( 2ω + 2ｆ ) ]

となり、Ｒの式に代入すると、

　　　Ｒ = kμ/a^3 * [ ( -1/2 + 3/2 * cos^2i ) (a/r)^3 + ( 3/2 - 3/2 * cos^2i ) (a/r)^3 * cos( 2ω + 2ｆ ) ]

　摂動関数Ｒを含めた運動方程式を解くと、３つの性質の異なる項が導かれます。

　（運動方程式の解法は先に示した本を参照してください。）

　いずれの項も時間 ｔ の関数になり、時間の経過につれて一様に累積していく永年項、近地点引数 ω の変化にともなってゆっくり変化する長周期項、平均近点角 ｌ の変化（公転周期やさらに短い周期）にともなって変化する短周期項からなります。

　衛星の位置は与えられた軌道要素から計算することができ、これまで説明してきた方法を使えば軌道要素の元期の位置を求めることは理解していただけたと思います。　しかし、衛星の位置は時々刻々変化し、多くの場合は現在の位置や将来の位置を予測すること目的です。　この場合、与えられた軌道要素に時間の経過とともに変化する要素 に補正を加え、計算が必要な時点の新しい軌道要素を生成する必要があります。　この新しい軌道要素を用いて、これまでに説明した計算方法を適用すれば、その時点での衛星の位置を求めることができるわけです。

初期軌道要素と永年項、長周期項、短周期項をつぎのように表します。

　　初期軌道要素：　　ａ0, ｅ0, Ω0, ｉ0, ω0, ｌ0, ｎ0

　　永年項：　　　　　　ΔΩ, Δω, Δｌ

　　長周期項：　　　　　δ1ｅ, δ1Ω, δ1ｉ, δ1ω, δ1ｌ

　　短周期項：　　　　　δ2ａ, δ2ｅ, δ2Ω, δ2ｉ, δ2ω, δ2ｌ

したがって、ある時点での軌道要素は、

　　ａ = ａ0 + δ2ａ

　　ｅ = ｅ0 + δ1ｅ + δ2ｅ

　　Ω = Ω0 + ΔΩ + δ1Ω + δ2Ω

　　ｉ = ｉ0 + δ1ｉ + δ2ｉ

　　ω = ω0 + Δω + δ1ω + δ2ω

　　ｌ = ｌ0 + Δｌ + δ1ｌ + δ2ｌ

 と言う形で表すことができます。

　精密な衛星の位置計算とは、その位置を変化させる要因を高い精度で補正することで、地球の大きさや形状のほかに、太陽や月などの引力、大気の抵抗、太陽の光圧、地球の自転軸の変化など、さまざまなものがあります。

　永年項について、地球の赤道半径を ａe 、地球の形状を表す Ｊ2 を使うとつぎのように与えられます。

　　ΔΩ = -3/2 * Ｊ2 * [ ( ａe^2 * ｎ0 ) / ( ａ0^2 * ( 1 - ｅ0^2 )^2 ) ] * cos ｉ0 * ｔ

　　Δω = 3/2 *  Ｊ2 * [ ( ａe^2 * ｎ0 ) / ( ａ0^2 * ( 1 - ｅ0^2 )^2 ) ] * ( 2 - 5/2 * sin^2 ｉ0 ) * ｔ

　　Δｌ = [ ｎ0 + 3/2 *  Ｊ2 * [ ( ａe^2 * ｎ0 ) / ( ａ0^2 * ( 1 - ｅ0^2 )^(3/2) ) ] * ( 1 - 3/2 * sin^2 ｉ0 ) ] * ｔ

ここで、 ｔ は元期からの経過日数です。

　高次の補正を行えば、より正しい位置を求めることが可能なはずです。　しかし、上の式を得るにもさまざま仮定をおいて式を簡略化したり、考慮していない要素も多くあります。　また、与えられた軌道要素の精度も、その時点では衛星の位置を正しく表すものですが、各要素が最適な値であるわけではないので、その後の理論的な補正を長期間にわたって正しく適応できるわけではありません。　現実的には、毎週新しい軌道要素が観測によって決められ提供されているので、それなりの計算による補正で補い、最新の軌道要素を使うことが最善であると考えています。　

　永年項の中には、軌道傾斜角 が含まれ、３つの特異な性質を示す角度があります。

　ΔΩの式を見ると ｃｏｓ ｉ0 が全体にかかっているので、ｉ0 が９０度の時にΔΩが０になります。

　すなわち、

　　　　０°< ｉ0 <　 ９０°で昇交点赤経が西向きに移動

　　　９０°< ｉ0 < １８０°で昇交点赤経が東向きに移動

　ということがわかります。

　昇交点赤経が変化しないということは、軌道面が天（たとえば春分点）に対して固定しているということです。　地球は太陽の周りを１年で公転するので太陽から見ると軌道面は１年で１周するように見えます。　ここで、軌道傾斜角を９０度より少し大きめにとり、ゆっくり昇交点赤経が東に移動するような軌道では、日の当たっている正午ころ 必ず東京の上を通過する軌道とか、常に軌道面が太陽を向き食が無い軌道とかを設定することができます。　資源探査衛星などには、このような軌道を持つものがあります。

　Δωの式を見ると ( 2 - 5/2 * ｓｉｎ^2 ｉ0 ) が全体にかかっているので、ｓｉｎ^2 ｉ0 が 4/5 の時（たとえば６３．４°）にΔωが０になります。

　ｓｉｎ^2 ｉ0 なので０°〜１８０°の範囲で考えれば、

　　　６３．４°< ｉ0 < １１６．６°では近地点引数が衛星の運動方向と反対に移動

　　　特異点をのぞく上記以外では、近地点引数が衛星の運動方向に移動

　ということがわかります。

　近地引数が変化しないということは、たとえば遠地点を北半球に固定した軌道などが設定できます。　北極に近い高緯度地域では赤道上の静止衛星は使えないので、このような地域で通信を行うための衛星としては、軌道傾斜角６３．４°、近地点引数２７０°、離心率を大きく、周期を長くしたものが考えられます。　軌道の取り方によっては準静止衛星的な使い方も可能ですが、ひとつの衛星を２４時間使うことはできないので、昇交点赤経だけが異なる同じような軌道の衛星が３個程度は必要になるでしょう。 　６３．４°の軌道傾斜角を持つ軌道はモルニア軌道と呼ばれています。

　Δｌの式を見ると、( 1 - 3/2 * sin^2 ｉ0 ) が全体にかかっているので、ｓｉｎ^2 ｉ0 が 2/3 の時（たとえば５４．７°）にΔｌが０になります。

　ｓｉｎ^2 ｉ0 なので０°〜１８０°の範囲で考えれば、

　　　５４．７°< ｉ0 < １２５．３°では平均運動が減少

　　　特異点をのぞく上記以外では、平均運動が増加

 　ということがわかります。

　平均運動が増加するということは、軌道長半径が減少するということで、いつかは地球に落下するということです。　離心率が極端に大きくなくて、近地点高度が十分にあれば、地球から人類が絶滅しても落下してこないと思います。　一方、地球からすぐに離れてもいかないので、このままでは地球の周りはゴミだらけ。 　５４．７°の軌道傾斜角を持つ衛星としてはＧＰＳ衛星があります。　

　摂動によって衛星の軌道は変化を受けますが、逆に摂動の性質をうまく利用した軌道もあります。　ここで示した摂動は地球の大きさや形を考慮した場合のものですが、それも大きな影響を与える限られた項だけです。　アマチュア的に衛星通信を行うには十分だと思いますが、さらに奥にあるいろいろな問題や、まだ十分に説明できていない動きから未知の力を発見できるかも？？？しれません。